משפט פרמה, התעלומה המתמטית המפורסמת ביותר

כך נולדה שאלתו המפורסמת של פרמה, שהטרידה דורות של מתמטיקאים, ורק ב-1994 נמצא לה כנראה פיתרון. זוהי הבעיה: האם קיימים ארבעה מספרים טבעיים a,b,c,n כאשר 2n>, כך ש- cn=.an +bn
אם ניקח, למשל, את המספרים הבאים: 2n= ,5c= ,4b= ,3a=, נקבל את השוויון 29+16=25=5=2+423. לפי פרמה, שוויון כזה לא ייתכן, כאשר המעלה n גדולה מ-2. הבעיה הפשוטה הזו, אותה יכול להבין כל תלמיד חטיבת ביניים, התגלתה כאגוז קשה מאוד לפיצוח. "ההוכחה הנפלאה", אותה מזכיר פרמה על דפי ספרו של דיופנטוס, לא נמצאה מעולם, וספק אם היתה קיימת בכלל. בגלל אי קיומה של הוכחה צריכה היתה הבעיה להיקרא "השערתו של פרמה", אך היא זכתה לכינוי: "המשפט האחרון של פרמה".

הפיתרון המבוקש לחידה הוא הוכחה: טיעון לוגי מסודר, שניתן לבודקו שלב אחר שלב, ושאינו משאיר שום מקום לספק. כדי להראות שהוכחה אינה נכונה, יש למצוא רק ארבעה מספרים מסוימים, המקיימים את התנאים שהוזכרו. לשם כך אפשר להעזר כיום במחשבים. אך מחשבים, יש לציין, אינם יכולים לבדוק את כל האפשרויות. כדי להוכיח את המשפט דרוש הרבה יותר: צריך להתייחס לכל הפתרונות האפשריים, במספרים שלמים, ולמספר אינסופי של משוואות – אחת לכל ערך של n.

פרסים כספיים
בתחילה עבדו המתמטיקאים על משפט פרמה, תוך התייחסות לכל אחת מהמשוואות בנפרד. כלומר, הם הציבו במקום n מספר מסוים, למשל 3, וניסו להוכיח שאין פתרונות למשוואה שמתקבלת, 3c=3b+3.a בחקירה מסוג זה משתמשים בתכונותיה הספציפיות של המשוואה. למשל, למשוואה 3c=3b+3a תכונות שונות מאשר למשוואה 4c=4b+4a, ולכן פיתרון של אחד המקרים, אינו מוביל בהכרח לפיתרון כללי, נכון לכל המשוואות. במקרים מסוימים היה הפיתרון קשה למדי, ומתמטיקאים ניסו לפתור כל מקרה לגופו. בין ניירותיו של פרמה עצמו נמצאה הוכחה למקרה 4n=.

ב-1753 גילה הגאון השווייצרי ליאונרד אוילר (EULER) הוכחה למקרה 3n=. ב-1825 נפתר המקרה 5n=, וב-1839 נפתר המקרה 7n=. המתמטיקאים התמקדו במקרים בהם n הוא מספר ראשוני (מספר שאינו מתחלק באף מספר אחר פרט ל-1), משום שאם מוכיחים את המשפט במקרה זה, ההוכחה תופסת לגבי שאר המקרים. אם n=kl, כאשר k ו- l הם מספרים שלמים, המחלקים את n, אז ,an+bn=(ak)l+(bk)l וכן .cn=(ck)l כלומר אם יש פיתרון למשוואה עבור n, יש פיתרון עבור כל מספר שמחלק את n.

הבעיה זכתה לתהודה רבה בקרב גדולי המתמטיקאים, ופרסים כספיים הובטחו לראשון שיצליח לפצחה. סופי ז'רמן, מתמטיקאית צרפתיה (שכתבה לחלק מעמיתיה תחת שם העט MONSIEUR LEBLANC, בגלל החשש שאם ידעו שהיא אשה, לא יקראו את עבודתה), השיגה בשנת 1823 את התוצאה הראשונה שטיפלה במספר רב של מקרים: היא הוכיחה שאם n הוא מספר ראשוני, וגם 2n+1 הוא מספר ראשוני, ואף אחד מבין a,b,c אינו מתחלק ב- n, אז אין פיתרון למשוואה an+bn=cn. את עבודתה שלחה לאקדמיה הצרפתית במכתב, משום שחוקי האקדמיה מנעו מנשים להרצות בפני החברים. על ידי פיתוח רעיונותיה של ז'רמן, הצליחו בני התקופה עד שנת 1840, להוכיח את המשפט עבור 100n<.

מתמטיקה מופשטת
למרות שכל המתמטיקאים הבכירים של המאה ה-19 הכירו את התעלומה, לא כולם התעניינו בה. רבים ראו בה בעיה קשה מאוד, אך לא מעניינת. הם לא חשבו שפתרון שאלת פרמה קשור לפתרון בעיות מתמטיות אחרות, או שהוא עשוי להוביל להמצאת מושגים חדשים ומעניינים. אולם הם התבדו. בעבודתו של המתמטיקאי הגרמני קומר, עורר העיסוק במשפט פרמה שאלות עקרוניות, שעתידות היו לעמוד במוקד העניין המתמטי. למשל, אחת השאלות שהעלה קומר היתה תכונת הפירוק היחיד. השאלה היא זו: במספרים טבעיים ניתן לפרק כל מספר לכפולה של מספרים ראשוניים. למשל, 5X3X2X60=2. יתרה מזו, פירוק זה הוא יחיד, כלומר אי אפשר להציג את 60 כמכפלה של מספרים ראשוניים באופן אחר. במתמטיקה ישנם אובייקטים אחרים, מלבד מספרים, אותם ניתן להכפיל ולחבר, למשל, פולינומים (פולינום בשני משתנים הוא ביטוי כמו 7y-4xy+2y2x+35x). גם פולינומים אפשר להציג כמכפלה של פולינומים "ראשוניים". אבל עבור פולינומים הצגה זו אינה בהכרח יחידה. לכן מתעוררת השאלה, אלו אוביקטים, אותם ניתן לחבר ולהכפיל, מקיימים את תכונת הפירוק היחיד. שאלה זו ושאלות בסיסיות אחרות התעוררו בעבודתו של קומר על בעיית פרמה. כדי לענות על שאלות אלה, החלה האלגברה המודרנית לעסוק בתכונות של פעולות חיבור וכפל של סימנים מופשטים, פעולות המקיימות אקסיומות מסוימות, אך הסימנים בהן אינם מסמנים בהכרח מספרים, פולינומים או כל אוביקט אחר. הנטייה להפשטת בעיות מתמטיות מהקונטקסט הספציפי בו התעוררו – במקרה של משפט פרמה הקונטקסט הוא המספרים הטבעיים – לקונטקסט הכללי ביותר, היא מתווי ההיכר המובהקים של המתמטיקה מאז אמצע המאה הקודמת.

ב-1816 וב-1850 הציעה האקדמיה הצרפתית פרס בסך 3,000 פרנק למי שיוכיח את משפט פרמה. בשנת 1908 הציעה קרן WOLFSKEHL פרס של 100,000 מארקים גרמניים. משפט פרמה הפך לשאלה המתמטית הבלתי פתורה המוכרת ביותר, ואל המתמטיקאים הגיעו גם פתרונות שנכתבו על ידי הדיוטות. אין כמעט מתמטיקאי פעיל שלא התבקש פעם לבדוק "הוכחה" למפורסמת בבעיות המתמטיקה. מתמטיקאים רבים בדקו מאות הוכחות כאלה. לעיתים נמצאה טעות בפתיחת סוגריים, בהעברת אגפים, או במעבר הלוגי, ובדרך כלל היו "ההוכחות" רחוקות מאוד מכל טיעון מתמטי מוכר, ושילבו הנמקות משטחים כתיאולוגיה ואסטרולוגיה ומתאוריות שונות כתיאורית הקונספירציה הפוליטית.

במהלך המאה ה-20 שוכללו השיטות האלגבריות, שהמציא קומר, והטכניקות אפשרו להוכיח את משפט פרמה למספר רב של n-ים, כאשר חלק מהחישובים נעשה באמצעות מחשב. עד 1976 נמצאו הוכחות למשפט פרמה עבור כל 125,000n<. אולם מאחר שלא נמצא הרעיון שאיפשר להוכיח את משפט פרמה לכל n, היתה השאלה רחוקה מלהיפתר.

פריצת דרך
הרעיון שעתיד היה לעמוד בבסיס הפיתרון של השערת פרמה הופיע לראשונה בשנות ה-70 וה-80, במסגרת תורה מתמטית, הנקראת תורת העקומים האליפטיים. בתורה זו חוקרים את התכונות של הנקודות (x,y) במישור, המקיימות משוואה אליפטית, כלומר משוואה מהטיפוס =x(x+g)(x+t)2,y כאשר s ו- t מספרים רציונלים (מספרים מהצורה p/q, כאשר p ו- q שלמים). עבור כל שתי נקודות על העקום אפשר למצוא, בתהליך מסוים, נקודה שלישית. אפשר להתייחס לתהליך זה כפעולת "חיבור" מיוחדת: כשם שחיבור של שני מספרים נותן מספר חדש, "חיבור" שתי נקודות על העקום האליפטי נותן נקודה חדשה.

מסתבר שיש לפעולת החיבור המיוחדת הזו תכונות המשותפות לחיבור רגיל בין מספרים, כלומר הפעולה מקיימת אקסיומות אלגבריות מסוימות, ההופכות אותה לפעולה המכונה על ידי המתמטיקאים "חבורה". פעולות שמקיימות את אקסיומת החבורה צצות במצבים רבים, כמו למשל במחקרו של קומר על פולינומים. במרוצת השנים חשף המחקר באלגברה ידע רב על החבורות. מסתבר שתכונות רבות של העקום האליפטי משתקפות בפעולת החבורה, שמוגדרת על נקודות העקום.

הקשר בין עקומים אליפטיים והשערת פרמה הופיע לראשונה אצל המתמטיקאי הצרפתי הלגוארש והמתטיקאי הגרמני פריי. הם טענו שאם יש ארבעה מספרים a,b,c,n המקיימים את המשוואה ,an+bn=cn  אז לחבורה של העקום האליפטי, המוגדר על-ידי x(x+an)(x-bn)2y, יהיו תכונות "מוזרות", כלומר תכונות שאנו יודעים שהן בלתי אפשריות.

הלגוארש ופריי לא הצליחו לאפיין בהצלחה את ה"מוזרות" של העקום האליפטי. המתמטיקאי הצרפתי סר הוא שהצליח ב-1986 לתת לרעיון שלהם לבוש מתמטי, ולהוכיח באמצעותו שהשערת פרמה תנבע משתי השערות אחרות. אחת ההשערות, השערת טאניאמה-וייל (בקיצור השערת TW), היתה השערה מוכרת וקשה, והשנייה היתה השערה אותה ניסח סר לראשונה, והעניק לה את השם "השערת אפסילון". האות אפסילון מסמלת במתמטיקה גודל קטן מאוד, ששואף לאפס. סר בחר לקרוא לה כך משום, שיחסית להשערת TW קל היה להוכיחה. באותה שנה מצא האמריקאי ריבט הוכחה להשערת אפסילון. צריך היה רק להוכיח את השערת TW, ובכך ניתן יהיה להוכיח את השערת פרמה.

השערת TW היא השערה הקושרת בין תחום העקומים האליפטיים לתורת המספרים המרוכבים. היא הוצגה לראשונה בשנות ה-50 על ידי המתמטיקאים היפאנים טאניאמה ושימורה, אך הם לא העזו לפרסם אותה. לאחר התאבדותו של טאניאמה, פרסם המתמטיקאי היהודי-צרפתי אנדרה וייל, אחד מבכירי המתמטיקאים של המאה ואחיה של הסופרת סימון וייל, את ההשערה באחד ממאמריו שהופיע ב-1967, וכינה אותו "תרגיל לקורא המתעניין".

מתמטיקאים רבים הניחו כי השערת TW נכונה. חלקם עשו זאת בגלל תחושת בטן, אחרים רצו לבדוק את תוצאותיה או להסיק ממנה סתירה ולהפריכה. עם השנים התרבו המסקנות שאפשר יהיה להסיק מההשערה, אם וכאשר תוכח. כמו כן הובנו הקשרים שלה להשערות אחרות ולתחומים אחרים במתמטיקה, וההשערה הפכה לשאלה מרכזית, מעין אבן בניין מרכזית בהיכל מלוטש, הבנוי נדבך על גבי נדבך, של משפטים אותם מנסים אנשי תורת המספרים לבנות. כשיושלם בניין זה יבינו המתמטיקאים הרבה יותר על המספרים, מאשר רק את נכונותו של משפט פרמה.

ההוכחה, הטעות והמבוכה
ב-1986, לאור עבודתו של ריבט, החל אנדרו וויילס, מתמטיקאי אנגלי, העובד באוניברסיטת פרינסטון שבארצות הברית, לבדוק את השערת TW. וויילס התפרסם כשפתר שתי בעיות פתוחות, שנחשבו לקשות מאוד, אך בגלל אופיו הנוח וביישנותו, לא קנה לו מעמד של כוכב-על במתמטיקה, בניגוד לכמה מעמיתיו בפרינסטון. במשך שש שנים ניסה וויילס להוכיח מקרה פרטי מסוים של השערת TW, מקרה שדי בו כדי להוכיח את משפט פרמה, זאת מבלי שסיפר על כך לאיש (ייתכן כי רצה לשמור את רעיונותיו לעצמו, או שחשש שהפרויקט שלו יעיד על חוסר ענווה). בכנס באוניברסיטת קיימברידג' שבאנגליה, שנערך ביוני 1993, לקראת סופה של סדרה בת שלוש הרצאות, הדהים וויילס את המאזינים, ורשם על הלוח את השערת פרמה כאחת המסקנות העולות מעבודתו.

ההכרזה המינורית הזו (שתועדה הודות למספר מתמטיקאים, שהזמינו צלמים לאירוע) הסעירה את הקהילה המתמטית ברחבי העולם. היא הוזכרה בעמודים הראשונים של העיתונים, ומתמטיקאים בכירים, שלא הכירו את פרטי ההוכחה, אך הכירו את המוניטין של וויילס, היללו את ההישג העצום. מכל רחבי הקהילה של המתמטיקאים הגיעו לוויילס בקשות לעיין בטיוטת המאמר שלו. אולם וויילס לא נענה לבקשות, והפיץ את טיוטת המאמר, בת 220 העמודים, רק בין מספר מצומצם של עמיתים, מהם ביקש הערות. כמו כן הגיש את המאמר לשיפוטו של הירחון היוקרתי INVENTIONES MATHEMATICAE. הוא השביע את קוראי המאמר שלא יפיצו אותו ברבים, והם נענו לבקשתו. במהלך כמה חודשים עסקו מתי המעט, שזכו לקבל עותקים של המאמר, בנסיונות להבינו, ובעיקר את הפרק השלישי, הקשה והחדשני.

באוקטובר 1993, כשבדק וויילס את העבודה עם עמיתו מפרינסטון ניק כץ גילה בה "פער". היתה זו דרך מנומסת לומר שהתגלתה טעות, ושמשתדלים עתה לתקנה. הקהילה המתמטית רחשה שמועות. הלשונות הרעות ידעו לספר שוויילס ביקש מעורכי הירחון, אליו שלח את מאמרו, שלא לתת את המאמר לשיפוט לאחד מעמיתיו. כמו כן נשמעו השערות לגבי עיתוי הודעתו של וויילס: היו מי שטענו שלאחר שש שנות עבודה בסתר, לא יכול היה לשמור לעצמו את הסוד הגדול. אחרים טענו שהוא מיהר להכריז על תוצאות עבודתו, משום שקיווה לזכות במדליית פילדס המוענקת מדי ארבע שנים למתטיקאי שלא עבר את גיל ה-40, והיא המקבילה המתמטית לפרס נובל (פולקלור העולם המתמטי טוען שמאחר שאשתו של אלפרד נובל עזבה אותו לטובת מתמטיקאי בינוני, לא מוענק פרס נובל למתמטיקה). בעת הסמינר בקיימברידג' היה וויילס בן כ-40.

העיתון הצרפתי "לה מונד" מיהר להכריז שהתעלומה שהותיר פרמה (שכולה תוצרת צרפת), לא נפתרה. העיתון ראיין מתמטיקאים רבים, ביניהם מדריכו של וויילס בעבודת הדוקטורט, שהטילו ספק בתקפות ההוכחה. לבסוף, בדצמבר 1993, פרסם וויילס הודעה בדואר האלקטרוני, לפיה נפלה טעות בפרק שלוש, וביקש לחזור בו מהכרזתו. הוא גם ביקש מהירחון להחזיר לו את המאמר, כדי שינסה לתקן לבדו את הטעון תיקון.

רבים מעמיתיו של וויילס, שלא זכו לראות את הטיוטה, חשו עצמם נפגעים לנוכח החלטתו שלא לחלוק עימם את ממצאיו. העולם המתמטי עמד אז בפני מצב מוזר, במסגרתו התמודד עם פער בלתי נסבל: מצב העניינים האידיאלי, בו הוכחה מתמטית היא הוכחה חותכת, שלא ניתן לסתור אותה, וכל אדם המתעמק בה יכול לאמתה צעד אחר צעד, לא תאם את מצב העניינים בפועל. ההוכחה היתה קיימת כביכול, אך רוב המתמטיקאים יכלו לשפוט את תקפותה רק על סמך שמועות וקטעי רכילות. אי נגישותה של ההוכחה לא נבעה רק מכך שוויילס לא הפיצה ברבים, אלא מכך שרובם המכריע של המתמטיקאים (שלא לדבר על הציבור הרחב) לא עסקו בבעיה במישרין, ולפיכך לא יכלו להבינה. גם בין המומחים בתחום היו רק מעטים שהבינו אותה.

מדוע האמינו מרבית המתמטיקאים בתקפותה של ההוכחה? ד"ר אודי דה שליט מהאוניברסיטה העברית, מהמומחים בתחום, שנכח בסמינר בו הודיע וויילס על הוכחתו, טוען שמרבית המתמטיקאים רצו להאמין שההוכחה נכונה. לדבריו, הם רצו זאת בעיקר משום שפרק שלוש, החלק הקשה בהוכחה, עסק בבניית "מערכות אוילר", טכניקה מורכבת שהוכיחה את עצמה בפתרון בעיות קשות אחרות בשנים האחרונות, ומיקדה הרבה תשומת לב.

הפער גדל
למרות המבוכה בקהילה המתמטית חשוב לומר שהוכחתו של וויילס לא היתה חסרת ערך. השערת TW אומנם לא זכתה להוכחה ניצחת, אך עבודתו של וויילס הוכיחה אותה במספר רב של מקרים, והתקרבה מאוד להוכחה הסופית. מתמטיקאים רבים ניסו לסתום את הפרצה בהוכחה (למרות שלא לכולם היתה גישה לטיוטת המאמר). ביניהם היה ריצ'רד טיילור, תלמידו של וויילס, שנסע לפרינסטון, לעבוד עימו.

במהלך עבודתם של וויילס וטיילור, הצליח וויילס עצמו, באופן מפתיע, בנצלו רעיון של דה שליט מירושלים, לעקוף את השימוש במערכות אוילר, ולסיים את ההוכחה. לאחר שוויילס וטיילור בדקו את ההוכחה באופן יסודי, הודיעו באוקטובר 1994 שהצליחו במלאכתם. ההוכחה המלאה, שנכתבה הפעם כשני מאמרים, האחד של וויילס (עיבוד של הטיוטה המקורית ללא פרק שלוש הבעייתי) ומאמר נוסף של וויילס וטיילור, אושרה הפעם על-ידי כל המתמטיקאים, ויצאה לאור בגליון מאי 1995 של ה- ANNALS OF MATHEMATICS.