חתך הזהב: יופי של מתמטיקה

ארכיטקטים הקדמונים שעסקו בתכנונה של הפירמידה הגדולה בגיזה קבעו כי היחס בין הגובה הגיאומטרי של צלע הפירמידה למחצית מאורך בסיסה יהיה 1.618. כ־4,000 שנה לאחר מכן צייר ליאונרדו דה וינצ'י את ה"מונה ליזה". היחס שקבע האמן בין רוחב לאורך פניה של הדמות היה 1.618. זה גם היחס בין רוחבה ואורכה של התמונה כולה. כמעט 500 שנה מאוחר יותר החל השימוש בכרטיס אשראי. היחס בין אורכו לרוחבו של כרטיס אשראי סטנדרטי הוא 1.618.
אלו הם רק מעט ממספר עצום של מקרים שבהם מתקשר המספר 1.618 ליופי, לאסתטיקה ולפרופורציות נכונות. קשה לדעת כיצד התגלה המספר, אך ידוע כי כבר המצרים והיוונים הכירו אותו היטב, ייחסו לו תכונות של יופי, איזון והרמוניה, ועשו בו שימוש נרחב. היוונים כינו את המספר בשם "חתך הזהב", וסברו כי מלבן אשר היחס בין אורכו לרוחבו שווה לחתך הזהב הוא המלבן היפה והאסתטי ביותר ("מלבן הזהב").
על בסיס הנחה זו הם השתמשו בחתך הזהב בפרויקטים ארכיטקטוניים רבים. דוגמה יפה לכך היא הפרתנון, אשר נבנה במאה החמישית לפני הספירה כמקדש לאלה אתנה ונחשב לאחת מפסגות השלמות של הארכיטקטורה היוונית. כמעט כל שני אלמנטים מלבניים סמוכים במבנה מקיימים ביניהם את חתך הזהב. מההנחיות לבניית תיבת נוח המופיעות בספר בראשית, עולה כי גם הפרופורציות של התיבה היו אמורות לשקף בקירוב את חתך הזהב.
גם בתקופות מאוחרות יותר המשיך חתך הזהב להיות גורם משמעותי בתכנון מבנים שנחשבים יפים במיוחד: נוטרדאם בפריז, שנבנתה בין המאה ה־12 למאה ה־14, תוכננה כך שהיחס בין גובהן של כל שתי קומות סמוכות מקיים את חתך הזהב. גם המרחק בין המגדלים ואלמנטים נוספים בכנסייה מקיימים יחס זה.
השפעתו של חתך הזהב בולטת לא רק בתחום הארכיטקטורה. ביצירות אמנות רבות מתקופת הרנסנס, ביניהם עבודותיהם של ליאונרדו דה וינצ'י, מיכלאנג'לו, רפאל ורמברנדט, אפשר להבחין בהתייחסות מיוחדת לפרופורציות הנקבעות על ידי חתך הזהב. ב"סעודה האחרונה" של דה וינצ'י, למשל, מקיימים היחסים בין מידות הפתחים למידות החדר את חתך הזהב, וכך גם מרכיבים בשולחן ובמיקום הדמויות. גם פרופורציות הגוף בפסל "דוד" של מיכלאנג'לו מקיימות את חתך הזהב.

מפתח למבנה היקום
השימוש בחתך הזהב באמנות החל כבר במצרים העתיקה. המצרים הקדמונים היו, ככל הנראה, הראשונים שידעו לשלב מתמטיקה באמנות, זמן רב לפני שבאה לעולם "סדרת פיבונצ'י". בתחילת המאה ה־13 בדק המתמטיקאי ליאונרדו פיבונצ'י את היחס בין שני איברים עוקבים בסדרת המספרים השלמים אשר כל אחד מהם שווה לסכום שני קודמיו. היחס שמצא היה שווה בקירוב למספר 1.618 (ראו מסגרת).
מהו הדבר שהופך את המספר האי רציונלי 1.618 לבעל ערך רב כל כך בהקשר של יופי ואסתטיקה? חתך הזהב הוא למעשה עיקרון גיאומטרי, שעניינו חלוקת קטע לחלקים שונים בגודלם, כך שיחס החלק הקטן לגדול הוא כיחס החלק הגדול לקטע כולו.
מלבן הזהב, אם כך, הוא מלבן אשר היחס בין רוחבו  לאורכו שווה ליחס בין אורכו למחצית היקפו. יחס זה, כך מתברר, מייצר יופי.
לשם המחשה, נבחן את מלבן הזהב הבא g
היחס B:A שווה ליחס (A:(A+B
תכונה נוספת של מלבן הזהב היא שאם נחסיר ממנו ריבוע, אשר אורך כל אחת מצלעותיו שווה לרוחב המלבן, נקבל מלבן חדש, קטן יותר, אשר גם הוא מלבן זהב. כלומר, החסרת הריבוע לא משנה את הפרופורציות של המלבן.
את חתך הזהב אנו פוגשים בהקשרים רבים ומגוונים גם במדע. חתך הזהב הוא המספר החיובי היחידי המקיים את התכונה שבה ריבוע המספר פחות המספר עצמו שווה בדיוק לאחד. בטבע מופיע חתך הזהב בפרופורציות של מבנה הדנ"א. גם ממוצע יחסי המרחקים בין הפלנטות במערכת השמש ובין השמש עצמה הוא מספר השווה בקירוב לחתך הזהב. היחסים בין החלקים של טבעות הכוכב שבתאי מקיימים אף הם יחס דומה.
הפרופורציות האסתטיות של יחס הזהב באות לידי ביטוי גם ביופי האנושי: בקרב מודלים מקובלים של יופי – שחקנים ושחקניות, דוגמנים ודוגמניות – היחס בין מרחקים וגדלים של איברי הפנים מקיימים במקרים רבים את יחס הזהב (ראו כתבה בעמ' 92).
מתמטיקה ויופי ויזואלי הם שני תחומים אשר הקשר הישיר ביניהם אינו טריוויאלי. למרות זאת, קיומו של יחס הזהב מרמז על קשר כלשהו בין שני התחומים, ואף מקשר שני תחומים אלה לתחומים נוספים. מי שידע זאת, כנראה, לפני כולנו היה אפלטון, אשר טען, באמצעות דמותו של טימיאוס, כי יחס הזהב הוא המפתח למבנה היקום.